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Paolo Magrassi 2010 - Creative Commons Attribution-Non-Commercial-Share Alike 3.

Econofisica: tra entusiasmo e realismo

Paolo Magrassi
www.magrassi.net

Estratto con traduzione da “A Call to Arms and a Blessing for 21st Century Information Technology: the Complexity
Challenge”, che sarà pubblicato negli Atti della 10th International Conference on Information Management and Evalua-
tion

Un problema/sistema è lineare se può essere spezzettato


Sommario nella somma di sottoproblemi indipendenti tra loro.
Uno dei “problemi” del XXI secolo, specie nel mondo Quando, invece, i vari aspetti/componenti interagiscono
economico e degli affari, è il formidabile e crescente rendendo impossibile la loro separazione per risolvere il
numero di interconnessioni. I mercati finanziari, le e- problema passo-passo o a blocchi, allora la situazione è
conomie, le reti (come quelle energetiche o di trasporto) non-lineare, e si dice anche “complessa”.
sono interconnessi. I consumatori lo sono, e influenzano
i rispettivi comportamenti, attraverso forme di comuni- Un sistema può essere anche estremamente complicato
cazione di ogni sorta, come social network, telefonia, (dal latino complico, piegare) senza per ciò essere com-
email. plesso. L’anatomia umana ci offre un bell’esempio: i
distretti del corpo umano sono tanti e, soprattutto, sono
formati ciascuno da un grandissimo numero di compo-
nenti, a loro volta classificabili in sottocomponenti, e
così via.
La fisiologia, invece, ci fornisce in modo intuitivo la
nozione di complessità (da complector, circondare,
comprendere, unire sotto una medesima denominazio-
ne): quelle migliaia di parti anatomiche sono collegate
non solo da relazioni tassonomiche ma anche da rela-
zioni funzionali. Quello che fa una può influenzare il
Crescente interconnessione significa che gli attori eco- comportamento di un’altra. Una cosa sono le compo-
nomici stanno sempre più interagendo e conseguente- nenti, un’altra cosa è il “sistema nel suo complesso”,
mente dando luogo a gradi enormi di non-linearità, os- benché sia fatto da quelle e solo quelle componenti..
sia “complessità”. E la complessità spesso comporta fe-
nomeni inattesi, come il caos e il comportamento emer- La linearità come utile approssimazione
gente, che possono diventare minacce per la sopravvi- della realtà
venza degli attori economici. I “sistemi” e i “problemi” che si incontrano in Natura
La complessità può aiutarci a spiegare come possa ac- sono essenzialmente non-lineari.
cadere che i più illustri analisti e il grosso dei ricercatori Tuttavia, in molte situazioni si può ricorrere alla lineari-
economici vengano colti alla sprovvista quando le fi- tà come a una approssimazione del primo ordine: se gli
nanze globali crollano ed economie molto robuste pre- effetti della non-linearità possono essere considerati
cipitano in profonde recessioni. trascurabili, allora si può approntare un modello ma-
Passiamo in rassegna alcune delle proposte più radicali tematico che rappresenta il sistema come se fosse linea-
che vengono formulate per reagire a questa situazione re. Questo approccio è fecondo in moltissime situazioni,
apparentemente ingovernabile, mettendone in luce an- dall’elettronica all’ecologia, dai computer all’economia.
che le limitazioni. Ad esempio, un amplificatore audio non è mai lineare
ma, entro certi limiti di frequenza (la lunghezza d’onda
Complessità del segnale deve essere molto piccola rispetto alle di-
Nel linguaggio di ogni giorno, complessità può signifi- mensioni fisiche del circuito), si comporta come se lo
care molte cose diverse. Ma nel campo scientifico essa fosse e perciò si rivela utile nell’hi-fi: ecco che, allora,
ha a che fare con la non-linearità1. la sua descrizione nella letteratura tecnologica che parla

ma istanza si rifà alla decidibilità nel senso di Gödel, divenuto


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Esiste, per l’esattezza, anche un’altra forma di complessità soprattutto appannaggio dell’informatica teorica grazie al la-
scientifica: quella “computazionale”, legata al tempo necessa- voro di Turing, Kolmogorov e altri. Si tratta di una materia
rio per svolgere un algoritmo e all’analisi che occorre fare per diversa da quella di in questo articolo anche se ad essa sottil-
stabilire se esso sia in effetti svolgibile. È un tema che in ulti- mente collegata (Magrassi 2009).

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di audio e alta fedeltà sarà sempre quella di un sistema Un modello lineare di questo sistema ecologico si rivela
lineare, anche se a rigore esso non lo è. subito inadeguato: l’andamento nel tempo della popola-
zione di prede dipende da quello della popolazione dei
I modelli lineari sono utili perché entro il loro regime
predatori ma, sua volta, quest’ultima si espande e si
lineare molti sistemi si somigliano e il loro comporta-
contrae in funzione del numero di prede disponibili. Le
mento può essere descritto con le medesime equazioni
prede, d’altro canto, dipendono dalla disponibilità di
anche se i contesti sono molto diversi, come la mecca-
cibo, e il mangiarne troppo può causare una contrazione
nica, l’elettronica, la chimica, la biologia, l’economia.
–al limite insostenibile– nella loro popolazione.
Un oscillatore lineare è un modello descritto dalle stesse
equazioni sia che si tratti di una molla, di un circuito Il sistema prede – predatori – cibo è intrinsecamente
elettrico o del ciclone El Niño. non-lineare: nessuna delle sue componenti può essere
studiata separatamente dalle altre. Infatti, le equazioni
(I sistemi complessi, invece, hanno ciascuno una formu-
di Lotka-Volterra (che lo descrivono) sono un esempio
lazione matematica diversa e, spesso, neppure quella: le
classico di modello ecologico non-lineare. Opportuna-
equazioni vengono sostituite da simulazioni numeriche).
mente semplificato per chiarezza, il modello conduce
alla formulazione della mappa (o funzione) logistica
Non-linearità (May 1976):
Enormi progressi scientifici e tecnologici sono stati fatti
xn+1 = r xn (1 - xn)
sulla base di approssimazioni lineari, prima che i com-
puter ci consentissero di avventurarci nella non-linearità
dove x0 rappresenterà la condizione iniziale, ossia la
e di dare la stura alla “scienza della complessità”, o “te-
popolazione all’intervallo temporale discreto t0.
oria della complessità”.
C’erano state, in effetti, delle esplorazioni in territorio
non-lineare già nel XIX secolo. Per esempio, il fisico-
matematico Henri Poincaré fu il primo ad accorgersi
che un sistema apparentemente semplice e soggetto a
leggi ben precise, come quello composto da tre corpi
celesti (come Sole, Terra, Luna), poteva esibire un
comportamento complesso (caotico). Altri studiosi, co-
me Alexander Bogdanov, Norbert Wiener e Warren
Weaver, fecero progressi e contribuirono a creare il
pensiero sistemico durante la prima metà del XX seco-
lo.
Tuttavia, il settore acquisì nuova linfa solo con
l’avvento dei computer, perché essi consentono di simu- Figura 1: La mappa logistica di Robert May
lare, ovviando alla mancanza (frequente, in questo cam-
po) di equazioni matematiche. Variando il parametro r, hanno luogo delle stranezze
(cfr. Figura 1), specialmente per r maggiore o uguale di
Fondamentale, in tal senso, fu il lavoro del matematico 3.57. Qui le oscillazioni periodiche (corrispondenti agli
e metereologo Edward Lorenz, che fece emergere e aumenti e decrementi di una popolazione in funzione
formalizzò il problema che Poincaré aveva solo sfiorato delle condizioni ambientali) vengono rimpiazzate da
(Lorenz 1963): osservando l’evoluzione di un sistema vero e proprio caos.
complesso, variazioni infinitesime nelle condizioni ini-
Ecco che dunque un problema ecologico “giocattolo”
ziali possono determinare variazioni finite negli stati può, come i tre corpi di Poincaré, finire nel caos. Infatti,
successivi. oltre alla sensibilità estrema alle condizioni iniziali,
In altre parole, anche due “inizi” infinitamente simili un’altra caratteristica dei sistemi complessi è il caos de-
possono apparire differenti in futuro, perché terministico: le leggi sottostanti sono ordinate e persino
l’evoluzione del sistema sarà sensibilmente diversa nei deterministiche, ma il comportamento caotico è possibi-
due casi, con una divergenza crescente al passare del le. (Una condizione differente dal caos stocastico, che
tempo. Dunque, fare previsioni a lungo termine diventa deriva dall’essenziale indeterminatezza dei fenomeni).
impossibile in linea di principio.
I sistemi complessi possono sorprendere
Esempi di complessità Una terza caratteristica dei sistemi complessi è il com-
Un esempio della situazione riscontrata da Lorenz si portamento emergente: anche quando le leggi che go-
ritrova in un sistema semplice come quello costituito da vernano le componenti sono note, un sistema complesso
predatori, prede e cibo per queste ultime. può esibire un comportamento che non può essere spie-
gato sulla base di quelle.

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La letteratura divulgativa sulla complessità tende a for- 4), formando una distribuzione gaussiana la cui de-
nire esempi tratti dal mondo vivente o da altri sistemi viazione standard è la misura del “rischio” di quel
naturali di alto livello (gli stormi di uccelli e le colonie titolo/commodity.
di formiche si comportano in modi inspiegabili in base
Queste sono evidenti semplificazioni della realtà, peral-
alle facoltà degli individui), ma la verità è che il com-
tro ben note agli economisti (Scarf 1960) (Sonnenschein
portamento emergente è noto e accettato dai fisici da
1972) (Stiglitz 1975) (Anderson 1988).
quando Phil Anderson lo dimostrò nel caso di un grup-
po di elettroni in un semiconduttore (Anderson 1972). È un fatto noto che il prezzo di un titolo o di un bene
Questi effetti a livello subatomico ci fanno capire quan- possa influenzare il prezzo di un altro; è noto che gli
to il mondo sia intimamente intriso di complessità. attori economici non si comportino razionalmente (un
premio Nobel è stato conferito nel 2001 a Daniel Ka-
È importante rendersi conto che a rendere complesso un
sistema sono le interazioni tra le componenti, non il hneman per averlo dimostrato); che i mercati siano per-
numero di queste (Bridgman 1927). Ciò che lo rende fettamente efficienti solo in circostanze estremamente
difficile da trattare è il fatto che, oltre alle leggi riguar- rare (premio Nobel a Joe Stiglitz nel 2002 per questa
danti le componenti, dobbiamo studiare anche quelle dimostrazione); che essi possano a volte impazzire im-
riguardanti il sistema nel suo complesso: l’approccio provvisamente, allontanandosi di parecchio dal loro “e-
analitico deve essere arricchito da quello olistico, si- quilibrio”.
stemico. Ma a scapito di queste consapevolezze, la teoria e le
Va da sé, poi, che un sistema complesso che abbia an- prassi economiche continuano a procedere sulla scorta
che molte componenti interagenti sarà ancora più diffi- delle semplificazioni lineari che abbiamo elencato. Si
cile: complesso e complicato è il massimo della difficol- effettuano sporadici ritocchi ai modelli, ma in sostanza
tà! si ritiene che gli effetti perversi della non-linearità siano
complessivamente trascurabili.
Economia lineare
La ragione della crescente complessità economica risie- L’economia diventa non-lineare?
de proprio nel fatto che hanno luogo sempre più intera- Di fatto, però, crisi catastrofiche o quasi appaiono sem-
zioni tra le componenti dei vari sistemi nei quali siamo pre più frequenti. Può trattarsi di improvvise e gravi
immersi (Lo 2009), che sono complessi e complicati al perturbazioni nei mercati finanziari e dell’economia
tempo stesso. Basti pensare: “reale”, oppure di shock che si propagano lungo le sem-
pre più complesse filiere produttive delle aziende, che
• ai sistemi finanziari globali;
non sono più sequenziali ma reticolari.
• alle reti (internet, trasmissione di energia, reti di
Questi shock possono ripercuotersi in modi imprevedi-
trasporto, ...);
bili e arrivare a interessare settori produttivi apparente-
• alle imprese, sempre più connesse in filiere ed eco- mente scollegati da quelli entrati in crisi per primi, ed è
sistemi; evidente che a dover stare in guardia non sono soltanto
gli organismi di vigilanza nazionali e supranazionali o il
• ai consumatori, che influenzano i reciproci compor-
sistema finanziario, ma anche le imprese in generale.
tamenti attraverso la Tv, le comunicazioni mobili, i
social network, il web, l’email;. Per queste ragioni, vien fatto di chiedersi (Bouchaud
Ora, alle basi della dottrina economica vigente stanno 2008): quelle cinque ipotesi sono ancora sostenibili e
alcune importanti ipotesi di linearità, come le seguenti: realistiche nel 2010? Gli effetti della loro imperfezione
sono veramente trascurabili?
1. I mercati sono quasi sempre in equilibrio o nella
sua prossimità; Si pensi alla Relatività di Einstein. Nella stragrande par-
te delle situazioni di ogni giorno, comprese quelle con-
2. I mercati sono efficienti, non possono essere “in- cernenti tecnologie molto sofisticate, noi non ci preoc-
gannati” e, nei grandi numeri, correggono ogni a- cupiamo degli effetti della Relatività, perché gli oggetti
nomalia; con cui abbiamo a che fare non si muovono a velocità
3. Compratori e venditori si comportano razionalmen- prossime a quella della luce né viaggiano a distanze in-
te; tergalattiche. Gli effetti della Relatività, speciale o ge-
nerale che sia, sono trascurabili.
4. Compratori e venditori, nel formarsi l’aspettativa di
un prezzo futuro (come quello di un’azione), pren- Eppure, i Gps che stanno nelle nostre auto e nei nostri
dono sempre in considerazione tutte le informazio- smartphone non funzionerebbero se il loro hardware e il
ni disponibili; loro firmware non tenessero in conto gli effetti della Re-
latività. Ecco dunque un esempio di situazione comune
5. Il prezzo di un titolo/commodity/eccetera non di- nella quale l’approssimazione «questa teoria non ci inte-
pende dagli altri prezzi, e fluttua in modo stocastico ressa in pratica» era valida 25 anni fa (quando non usa-
nell‘intorno del suo “valore atteso” (quello di cui in vamo il Gps) ma è sbagliata oggi: abbiamo dovuto ar-

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ricchire i nostri “modelli” per prenderne in considera- Nuovi modelli proposti per l’economia
zione gli effetti pratici. Uno di questi modelli è quello dei vetri di spin (alla cui
Alla stessa stregua, dobbiamo stare attenti a non sotto- ideazione ha partecipato forse più di ogni altro il grande
stimare la comparsa, nel mondo economico, di fatti che fisico romano Giorgio Parisi), un contesto caratterizzato
possano rendere obsolete e sbagliate le approssimazioni da estrema fragilità rispetto a piccole variazioni dei pa-
lineari che sottendono al paradigma economico domi- rametri e dalla sostanziale assenza dell’equilibrio.
nante, ossia quello delle attese razionali (rational expec- Un altro, considerato più promettente da molti e colle-
tations hypothesis, Reh) e dei mercati efficienti (Emh). gato a quanto diremo tra poco sulla simulazione ad a-
E, in questo senso, un fatto nuovo è la quantità di in- genti, è quello dell’approssimazione eterogenea di tipo
terconnessioni tra gli agenti/attori economici, sia a livel- mean-field, dove il problema di N particelle interagenti
lo macro sia a livello micro. (Le mutazioni importanti di è trattato come quello di una singola particella immersa
quantità possono comportare mutazioni anche qualitati- in un campo di forze opportunamente scelto.
ve: un grammo di paracetamolo cura il mal di testa e la Un altro modello ancora è quello presentato per la pri-
febbre, ma cento grammi uccidono!). ma volta da Giacomo De Laurentis su matematicamen-
In effetti, secondo un numero crescente di studiosi, nel te.it (De Laurentis 2009): l’approccio preso è quello
mondo globale del XXI secolo i mercati non possono della termodinamica del non-equilibrio, fino a proporre
essere più modellati come sistemi lineari. In questa vi- una poderosa e suggestiva analogia tra i mercati finan-
sione, l’ipotesi di linearità si mostrerà sempre più ina- ziari e le strutture dissipative ideate da Ilya Progogine
deguata a misura che le interconnessioni cresceranno, negli anni ’60 e che gli valsero il Nobel per la chimica.
perché esse sono la sorgente ultima della non-linearità: Una categoria molto vasta di modelli econofisici sono
la loro crescita oltre una certa soglia è il fatto che rende quelli ad agenti: qui, il dominio sotto esame viene e-
non più realistica l’approssimazione lineare. splorato attraverso simulazioni al computer, una meto-
dica molto più consueta in fisica e nelle altre scienze
Econofisica della Natura (come ad esempio la biologia) che non in
Impostazioni dottrinali radicalmente nuove, quantunque economia, dove secondo molti essa dovrebbe venire
per il momento solo embrionali, vengono proposte praticata maggiormente. Infatti, l’investigazione nume-
nell’ambito della econofisica, una disciplina nata a metà rica di un modello non dimostra nulla, però costituisce
degli anni ’90 che tenta di a) importare maggiori ele- uno strumento formidabile, un «telescopio della mente
menti di empirismo in economia (una disciplina forte- che moltiplica i poteri di analisi e indagine scientifica
mente assiomatica che somiglia più alla matematica che come un telescopio fa con quelli della visione», come
non alla fisica) e b) incoraggiare la ricerca economica ha scritto felicemente Mark Buchanan sul New York
ad adottare alcuni metodi che nelle scienze naturali sono Times.
stati messi a punto per descrivere i sistemi complessi2.
Nel caso degli studi econofisici, le simulazioni spesso
Non-linearità, sistemi lontani dall’equilibrio, e “disordi- consistono nel definire agenti economici (persone, a-
ne organizzato” (caos deterministico, comportamento ziende, banche, enti regolatori, eccetera) e le regole del
emergente) sono all’ordine del giorno in econofisica: gioco, lasciando poi che il gioco si svolga per studiarne
all’incirca l’opposto di quel che succede nell’ambito del i risultati possibili.
paradigma Reh/Emh, dove i mercati non hanno una di-
Queste simulazioni agent-based, chiamate anche com-
namica interna (niente connessioni tra gli agenti indivi-
plex adaptive systems o automi cellulari, furono inaugu-
duali e le loro scelte) e il caos può essere solo stocasti-
rate da John H. Conway (Gardner 1970) e formalizzate
co, ossia la “complessità disordinata” (Weaver 1948)
per la prima volta da John Holland (Holland 1975). È
del moto browniano e della termodinamica
impressionante constatare come, a partire da organismi
dell’equilibrio.
semplicissimi (gli agenti) e pochissime regole, al passa-
Alcuni fisici e alcuni economisti (in numero sensibil- re del tempo possano formarsi ricche e complesse forme
mente inferiore ai primi) stanno riconoscendo sempre di “vita”. Nel Game Of Life di Conway, ad esempio, ci
più in modelli complessi del mondo fisico o biologico sono un solo organismo e quattro regole.
situazioni che somigliano al contesto economico-
Le simulazioni che si svolgono in tale modo conducono
finanziario.
spesso a situazioni molto diverse dal quasi-equilibrio
perpetuo dei mercati efficienti. Per esempio, crisi quasi
catastrofiche possono aver luogo improvvisamente, lad-
dove i modelli Emh le ammettono solo con probabilità
2
infinitesima. Esempi di simulazioni econofisiche ad a-
Una visione più ampia, ma poco utile, dell’econofisica la
genti possono trovarsi, fra l’altro, in (Thurner 2010),
vede come terreno di applicazione all’economia di metodi del-
la fisica tout-court, cosa che in realtà avviene sin dai tempi di (Westerhoff 2004) e (Macal 2004).
Leon Walras e Vilfredo Pareto, nell’Ottocento.

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Bando ai facili entusiasmi nomica. Secondo questa visione (espressa con efficacia
Data la crescente complessità del mondo economico, da Eugene Fama in un’intervista al New Yorker nel gen-
non è inverosimile che sia necessaria una visione radi- naio 2010), la finanza è stata la vittima e non già la cau-
calmente nuova dell’economia, tale da consentirci una sa del crack economico.
comprensione più realistica di sistemi che oggi stiamo Inoltre, alcuni econofisici mostrano di ignorare, o quan-
approcciando come se fossero lineari ma i cui effetti tomeno di non curarsi, dei correttivi che gli economisti
non-lineari sono, forse, non più trascurabili. Tuttavia, vengono mano a mano apportando alla fallacia dei mo-
occorre essere cauti nel saltare alle conclusioni. delli semplificati. Come accennavamo sopra, taluni si
Per prima cosa, la ricerca econofisica ha bisogno di ir- spingono persino ad affermare la necessità di adottare in
robustirsi con una partecipazione più ampia e approfon- economia i metodi della fisica statistica, quando in ef-
dita di economisti. Nella sua letteratura si registra, infat- fetti ciò accade da 150 anni.
ti, una certa propensione a sottovalutare il grado di con- L’econofisica, infine, soffre e soffrirà a lungo delle li-
sapevolezza raggiunto dalla ricerca economica in molti mitazioni comportate dalla ricerca interdisciplinare: a-
dei settori critici toccati dall’econofisica. vere assegnato un PhD, pubblicare su journal importanti
Un’altra potenziale distorsione è quella, che di tanto in od ottenere una cattedra sono cose che vengono molto
tanto si ravvisa, consistente nell’affermare la necessità più facilmente se si compiono studi che risuonano con il
di nuovi modelli teorici senza essersi preoccupati di paradigma dominante e si focalizzano su àmbiti circo-
confutare veramente quelli in vigore. Molti economisti scritti, anziché avventurarsi in territori inesplorati e che
anche di rango elevatissimo, pur ammettendo limitazio- invocano collaborazioni transdisciplinari.
ni e imperfezioni del paradigma attuale (Reh/Emh), non Questi fattori rallenteranno di molto l’evenienza e la
sono affatto preoccupati circa la sostenibilità e lo stato vittoria, ammesso che essa si verifichi, di nuovi para-
di salute del medesimo. digmi sanciti da economisti e fisici assieme.
Ad esempio, secondo alcuni di loro il crash finanziario
del 2008 non è stato che l’avvisaglia, fornitaci dai mer-
cati efficienti, di un’imminente violenta recessione eco-

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Anderson, P. W. (1972), “More Is Different”, Science, New Series, Vol. 177, No. 4047, pp. 393-396
Anderson, P. W., Arrow, K. and Pines, D. (1988), The Economy as an Evolving Complex System, Addison-Wesley
Bouchaud, J. P. (2008), “Economics Needs a Scientific Revolution”, Nature, Vol. 455, p. 1181
Bridgman, P. (1927), The Logic of Modern Physics, The MacMillan Company, New York, p.26
De Laurentis, G. (2009), “Ontologia applicata ai mercati finanziari”, matematicamente.it
Gardner, M. (1970), “The fantastic combinations of John Conway's new solitaire game «life»”, Scientific American,
N.223, p.120
Holland, J. (1975), Adaptation in Natural and Artificial Systems, University of Michigan Press
Lo, A. (2009), “The Feasibility of Systemic Risk Measurement”, Written testimony prepared for the U.S. House of
Representatives, Financial Services Committee, October 19, 2009
Lorenz, E. (1963), “Deterministic Nonperiodic Flow”, Journal of the Atmospheric Sciences, Vol. 20, pp. 130-141
Macal, C. M. et al. (2004), “Modeling the Restructured Illinois Electricity Market as a Complex Adaptive System”,
24nd North American Conf. of the USAEE/IAEE Energy, Environment and Ecnomics in a New Era, July 8-10,
2004, Washington, D.C.
Magrassi, P. (2009), Difendersi dalla complessità, FrancoAngeli, pagg. 69-70
May, R. M. (1976). "Simple mathematical models with very complicated dynamics", Nature, Vol. 261, p. 459
Scarf, H. (1960), "Some Examples of Global Instability of the Competitive Equilibrium", IER
Sonnenschein, H. (1972), “Market Excess Demand Functions”, Econometrica, Vol. 40, pp. 549-563
Stiglitz, J, (1975), “The Theory of «Screening», Education, and the Distribution of Income”, American Economic
Association
Thurner, S., Farmer, G. D. and Geanakoplos, J. (2010), “Leverage Causes Fat Tails and Clustered Volatility”, arXiv,
Quantitative Finance > Statistical Finance
Weaver, W. (1948), “Science and Complexity”, American Scientist, Vol. 36, p. 536
Westerhoff, F. (2004), “The effectiveness of Keynes-Tobin transaction taxes when heterogeneous agents can trade in
different markets: A behavioral finance approach”, Scientific Commons

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